સંકલન intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{ln(1 + 2x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.$2x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$2 dx = \sec^2 	heta d	heta$,તેથી $dx = \frac{1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{16} \ln 2$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.$2x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$2 dx = \sec^2 	heta d	heta$,તેથી $dx = \frac{1}{2} \sec^2 	heta d	heta$.જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$. જ્યારે $x = 1/2$,ત્યારે $	heta = \pi/4$.આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:$I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + 	an 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 	heta d	heta$$1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ હોવાથી,પદ સાદું રૂપ પામશે:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) d	heta$  --- $(1)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an(\pi/4 - 	heta)) d	heta$$	an(A-B) = \frac{	an A - 	an B}{1 + 	an A 	an B}$ સૂત્ર વાપરતા:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta$$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{1 + 	an 	heta + 1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta$$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) d	heta$$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot [	heta]_0^{\pi/4} - \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) d	heta$$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - I$$2I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \implies I = \frac{\pi}{16} \ln 2$.

સંકલન $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $f(x)$ એ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતું સતત આવર્તી વિધેય છે. ધારો કે $I = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$. તો

ધારો કે $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$,જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ ની કિંમત શોધો:

જો $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ એ $m, n \geq 1$ માટે હોય અને $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $\alpha$ ની કિંમત .... થાય.

જો $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$ હોય, તો $g(x+\pi)$ ની કિંમત શું થાય?

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{5} x}{\sin ^{5} x+\cos ^{5} x} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module